更换投影面法

基本概念

更换投影面法是保持空间几何元素的位置不动，而用新的投影面代替原来的投影面，使空间几何元素对新投影面处于有利解题的位置。

图5-2表示一铅垂面△ABC，该三角形在V、H两投影面体系(以后简称V₁/H体系)中的两个投影都不反映实形。假如取一平行于三角形的V₁面来代替V面，则V₁面和H面构成一个新的两投影面体系V₁/H。三角形在V₁/H体系中的投影a₁'b₁'c₁'就反映三角形的实形。再以V₁面和H面的交线X₁ (投影轴)为轴，使V₁面旋转至与H面重合，就得出V₁/H体系的投影图。原来的V面称为旧投影面，H面称为不变投影面，V₁面称为新投影面；原来的投影轴X称为旧轴，X₁称为新轴；a'b'c'称为旧投影，abc称为不变投影，a₁'b₁'c₁'称为新投影。

必须指出，新投影面是不能任意选择的，它的选择一定要符合以下两个基本条件：

（1）、新投影面必须垂直于不变投影面，以构成一个新的两投影面体系；

（2）、新投影面必须对空间几何元素处于有利于解题的位置。

以下分别研究点、直线、平面在更换投影面时，新旧投影的关系和作图问题。

点的变换

点是基本的几何元素，应首先了解点在更换投影面时，新旧投影的关系。

图5-3a表示点A在V/H体系中的两个投影a和a'。现在取一个铅垂面V₁来代替V面作为新的正投影面，以形成新的两投影面体系V₁/H。

由点A向V1面作垂线，其垂足a₁'即为点A的新的正面投影。再使V₁面绕新轴X₁旋转至与H面重合，则a和a'两点一定在X₁轴的同一垂线上。

由于V/H体系和V₁/H体系具有公共的H面，因此点A到H面的距离(即Z坐标)在这两个两投影面体系中都是相同的，即a'a_x=Aa=a₁'a_x1。

因此，在投影图(图5-3b)上，先画出新投影轴X₁，然后由点a向X₁轴作垂线，使与X₁轴相交点ax₁。再在此垂线上取一点a₁'，使a₁'a_x1=a'a_x，点a₁'即为点A的新正面投影。

以上为更换V面的情形。当有必要时，也可更换H面，即用H₁代替H，从而建立起新的V/H₁体系(图5-4)。其分析、作图方法同上。

由以上可知，在更换投影面时，点在新、旧两投影面体系中的投影具有如下规律：

（1）. 新投影与不变投影之间的连绕垂直于新投影轴；

（2）. 新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。

以上在更换V面或更换H面时，都是将原来的两个投影面H、V中更换一个而保留另外一个，所以称为更换一次由于面。

但在更换投影面法中，有时更换一次还不能解决问题，这时必须更换两次或更多次。

在更换两个或两个以上的投影面时，点的新投影的求法与更换一个投影面时完全相同。但必须指出，V面和H面必须交替更换。

图5-5所示为把V/H体系经过V₁/H体系而更换为V₁/H₁体系(有时更换的方式为V/H→V/H₁→V₁/H₁)的情况。

直线的变换

直线是由两个点所决定的，因此，在更换直线的投影时，只要把直线上的任意两个点的投影加以变换，即可求得直线的新投影。

1. 将一般位置直线变换为新投影面的平行线

如图5-6a所示，取V₁平行于AB且垂直于H面，则在新体系V₁/H中，AB就成为了正平线。只要注意到V₁面距AB的距离是任意的，X₁平行于ab,则可按变换规律求出直线的新投影，从而得到直线的实长和α角。

图5-7为求直线AB的实长和其β角的作图过程。

2. 将投影面平行线变为新投影面的垂直线

要将投影面平行线AB变为新投影面的垂直线 ， 则新投影面H₁必须与AB垂直，在V/H₁体系中，AB就成了垂直线。

如图5-8a所示，要将正平线AB变为垂直线，则新投影面H₁必须与AB垂直。这样，在V/H₁体系中，AB就成了铅垂线。

在投影图(图5-8b)上，作X₁垂直于a'b'，然后求出AB在H₁面上的新投影a'b'。

3.将一般位置直线变换为新投影面的垂线

如果要将一般位置直线变换为新投影面的垂直线，想用更换一次投影面来解决是不可能的。因为，如果直接作一投影面使之垂直于直线AB，则此投影面一定也为一般位置平面，而与任一原有投影面不能构成直角投影体系。为了解决这个问题，必须更换两次投影面：首先使直线AB变换为一个新投影面的平行线，然后再变换为另一新投影面的垂直线。作图过程如图5-9所示。

平面的变换

平面是由不在同一直线上的三点(或其他几何元素组合)决定的，因此在更换投影面时，只需把决定平面的几何元素的投影加以变换，即可求得平面的新投影。

1.将一般位置平面变换为新投影面的垂直面

如图5-10所示，要将一般位置平面变换为新投影面的垂直面，则所选的新投影面既要垂直于该一般位置平面，又要与旧体系中某一投影面垂直。为此，可将该一般位置平面内的一条投影面平行线变换成新体系中的垂直线，则该一般位置平面必然随之变为投影面的垂直面。

2.将投影面垂直面变换为新投影面的平行面

若要将投影面垂直面变为投影面平行面，则需选新投影面与该垂直面平行即可（在投影图上表现为新轴与该垂直面的积聚性投影平行）。作图过程如图5-11所示。

3.将一般位置平面变换为新投影的平行面

要将一般位置平面变为投影面平行面，必须更换两次投影面。即先把它变成一个新投影面的垂直面，再变为另一个新投影面的平行面。其作图方法如图5-12和图5-13所示。

应用举例

例5-1. 求△ABC与△BCD的真实夹角 (如图5-14a)。

分析：观察图5-14b，当两平面同时垂直于一个投影面时，在该投影面上的投影就反映出两平面的真实夹角。要使两平面同时变换为新投影面的垂直面，必须把它们的交线变换为新投影面的垂直线。因其交线BC为正平线，故只需要更换一次投影面，在V/H₁体系中将BC变换为垂直线，∠a₁c₁d₁即反映△ABC与△BCD的真实夹角。

作图：

（1） 取X₁⊥b₁c_1;

（2） 一次变换求得θ角。

例5-2. 图5-15a给出了两输油管轴线AB与CD的位置，今要在两管距离最近处将它们连接起来，求连接点的位置及连接管的长度。

分析：我们把两输油管线AB、CD看作空间交叉两直线，最短距离为其公垂线。

观察图5-15b，我们若将两交叉直线之一(如CD),变为新投影面的垂直线，则公垂线KL必平行新投影面，其新投影反映真长，且与另一直线AB在新投影面上的投影反映直角。作图(图5-15a):

（1）、更换两次投影面，即先将直线CD在V₁/H体系中变为V₁面的平行线，再在V₁/H₁体系中变为H₁面的垂直线，直线AB也随之作相应的变换；

（2）、过C₁ (亦即d₁)作k₁l₁⊥a₁b₁，k₁l₁即为公垂线KL在H₁面上的投影。根据k₁l₁再返回作图，求出KL在H、V面上的投影(k l,k'l')。K(k,k')及L(l,l')为两油管距离最近的连接点，k₁l₁ 表示连接管的长度。

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